Hilbert uzaylarında Fourier serilerinin yakınsakılığı
Fen Bilimleri Enstitüsü, 2017
Online
unknown
Zugriff:
Bu çalışma iki ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde Fourier serilerinin tarihi, önemive daha sonra trigonometrik seriler ile olan bağlantısına yer verilmiştir. İlginçtir ki,Fourier serileri her ne kadar matematik konusu olarak gözükse de tarihi açıdan aslındabu kavram 2utt a uxx biçiminde tanımlı daha sonra da bahsedeceğimiz tel titreşimi içindalga denkleminin incelenmesiyle doğmuştur. Dolayısıyla Fourier serileri belirttiğimizmatematiksel fiziğin temel denkleminin genel çözümünün bulunması içingeliştirilmiştir. Tel titreşim denklemiyle ilk kez Jean le Rond D'Alambert uğraşmıştırbu nedenle trigonometrik seriler teorisi için ilk adımı o atmıştır diyebiliriz. Bu vebenzeri fiziksel problemleri matematiksel yöntemlerle çözmek için fonksiyonları sinüs,kosinüs fonksiyonlarının lineer kombinasyonları ile ifade etmeye ihtiyaç duyulmuştur.Bu problemin matematiğe bakan yönü Fourier serilerinin yakınsaklığını araştırmaktanbaşka bir şey değildir. Bu nedenle tezimizin ikinci bölümünde 1 L , uzayına aitfonksiyonların Fourier serilerinin yakınsaklığı için belirlenmiş bazı önemli kriterlergösterilmiştir. Fourier serileri teorisi ile ilgili neredeyse tüm kaynaklarda 1L fonksiyonuzayı esas alınmış ve bu uzay dışındaki fonksiyonlar için çalışmanın pek merak konusuolmadığı belirtilmektedir. Bilindiği üzere 1 f L , için 1f x cos nxdx , 1f x sin nxdx Fourier katsayıları iyi tanımlıdır. Genel olarak trigonometrik serilervii 01cos sin n nnA a nx b nx biçiminde tanımlanır ve eğer na , nb sayıları uygun olarak yukarıda verilen integrallerletanımlanırsa buna f fonksiyonunun belirlediği Fourier serisi denir. Asıl problemler,hangi koşullar altında fonksiyonun belirlediği Fourier serisi yakınsar ve hangi koşullaraltında bu seri orijinal fonksiyonun kendisine yakınsar şeklindeki problemlerdir. Fourierserileri için birçok yakınsaklık tipi mevcuttur: noktasal yakınsaklık, düzgün yakınsaklık,mutlak yakınsaklık, norma göre yakınsaklık, hemen hemen her yerde yakınsaklık, vs.İkinci bölüm yani genel kısımlar bölümünde tezimizin ana konusu Fourier serilerininHilbert uzaylarında yakınsaklığını incelemek olduğundan önce iç çarpım uzayları veözellikle Hilbert uzayları teorisinde Ortonormal baz, ortogonallik gibi bazı önemlikavram ve sonuçlar verilmiştir. kavramlar bunlara örnektir. pL uzayları içinde tekHilbert uzayı olan 2L uzayına ait bazı önemli sonuçlar verilmiştir. 2L uzayına aitfonksiyonun Fourier serisinin norma göre yakınsaklığı tartışılmış, Fourier serileriteorisinde önemli ve ispatı oldukça zor olan Carleson teoremi sadece hipotez olarakifade edilmiştir. Belirtelim ki, norma göre yakınsaklık noktasal ve dolayısıyla hemenhemen her yerde yakınsaklığı gerektirmez bunu bir karşıt örnekle açıkladık.Fourier serilerinin yakınsaklığı kadar ıraksaklığı da merak konusu olduğundan sonolarak Fourier serilerinin ıraksaklığı hakkında bazı önemli sonuçları inceledik. Fourierserilerinin yakınsaklığı için ilk bilimsel çalışma Dirichlet'ye mahsustur ve o parçalıdüzgün fonksiyonların Fourier serilerinin sürekli olduğu noktalarda kendisine, birinciçeşit süreksizlik noktalarında ise fonksiyonun bu noktada sağ ve sol limitlerininaritmetik ortalamasına yakınsadığını göstermiştir. Daha sonra ise bu ispatı süreklifonksiyonlar için ispatlama tutkusuna kapılmıştı. Cantor, Dedekind, Fourier gibi ünlümatematikçiler de aynı hataya düşmüştüler. Bunun bir yanılgı olduğu ilk kez D. BoisReymond tarafından ispatlanacaktı.Bu tez çalışmasının devamında Fourier serisi noktada ıraksak olan süreklifonksiyonların varlığı hakkında bilinen bazı sonuçlar incelenmiştir. Bununla ilgili ilksomut örnek Fejer tarafından verilmiştir. Son olarak Kolmogorov'un göstermiş olduğukarşıt örnekleri ele alınmıştır. Şöyleki o, 1922 yılında 1L uzayına ait Fourier serisihemen hemen her yerde ıraksak olan fonksiyonun varlığını göstermiş, daha sonra buçalışmasını daha da ileri götürerek 1926 yılında Fourier serisi her yerde ıraksak olanfonksiyon örneği vermiştir. Onun makalelerinde fonksiyonların nasıl oluşturulduğubelirtilmiyor bu nedenle başka kaynaklar da referans alınmıştır. Tabi ıraksaklık ile ilgilikarşıt örnekler bunlarla sınırlı değildir. Biz konuya sadece tarihsel olarak yaklaştık vebelirttiğimiz sonuçları tartıştık.Anahtar kelimeler: Fourier serileri, Ortonormal baz, Ortogonallik This work consists of two parts. In the first part we considered history and importanceof Fourier series and then gave relations with trigonometric series. Even if Fourierseries seems to be as a topic of mathematics it is interesting that in the historical pointof view this notion, in fact, arose from researches on the string wave equation definedby 2utt a uxx , which we will mention later. So Fourier series was developed to findgeneral solution of this basic equation of mathematical physics. Jean le RondD'Alambert was the first mathematician who researched string wave equation, thereforewe can say that the one who initiated the theory of trigonometric series wasD'Alambert. To solve such physical problems by using mathematical methods it isneeded to represent a function in terms of linear combinations of sine and cosinefunctions.The mathematical side of this problem is nothing else to research the convergence ofFourier series. That is why in the second part of the thesis we discussed some importantcriterions about convergence of Fourier series of functions in 1 L , . Essentially, itis considered the function space 1L since it is not interesting to work by functions whichdo not belong this space. As is known, for 1 f L , Fourier coefficients 1f x cos nxdx , 1f x sin nxdx are well – defined. In general a trigonometric series is defined by 01cos sin n nnA a nx b nx ixand if the numbers n a , n b are defined by the integrals given above then we say that thisseries is Fourier series determined by the function f . The main problems are : underwhich conditions Fourier series of a function converges and under which conditionsFourier series of a function converges to the original function. There are manyconvergence types for Fourier series : pointwise convergence, uniform convergence,norm convergence, almost everywhere convergence and so on.Since our main aim in this thesis is to examine convergence of Fourier series in Hilbertspaces, in the second part i.e, in the general parts first of all, inner product spaces andespecially, in the theory of Hilbert spaces some important notions and results such asorthonormal basis, orthogonality were given. Some results were given in 2L , which isthe only Hilbert space among pL spaces. The convergence of Fourier series withrespect to 2L -norm was discussed and Carleson theorem was given as a hypothesiswhich has an important role in the theory of Fourier series and a quite difficult proof.Note that norm convergence does not imply pointwise convergence and thereforealmost everywhere convergence which we explained this fact by a counterexample.The divergence of Fourier series is object of curiosity like its convergence thereforefinally we examined some important results on the divergence of them. The firstscientific work on the convergence of Fourier series was due to Dirichlet and he provedthat Fourier series of piecewise smooth function converges to itself whenever thefunction is continuous and converges to the average value of left and right limits of thefunction at first kind discontinuities. Afterwards he was besotted with development ofhis results for continuous functions. As him some great mathematicians, like Cantor,Dedekind, Fourier etc., made the same mistake. That this was an error was proved forthe first time by D. Bois Reymond.Later on in this work we examined some known results about the existence ofcontinuous functions which have divergent Fourier series at a point. The first concreteexample about it was given by Lipot Fejer. Finally, we considered counterexamplesgiven by Kolmogorov. In 1922, he constructed a function in 1L whose Fourier seriesdiverges almost everywhere, and then in 1926 he improved his result by constructing afunction in 1L whose Fourier series diverges everywhere. In his articles the constructionprocess of the functions was not discussed, therefore we used some other references. Ofcourse these are not only counterexamples about divergence of Fourier series. We justtry to examine the topic by historical approach and discussed the stated results.Keywords: Fourier series, Orthonormal basis, orthogonality 100
Titel: |
Hilbert uzaylarında Fourier serilerinin yakınsakılığı
|
---|---|
Autor/in / Beteiligte Person: | Gadirov, Jamal ; Çalışkan, Erhan ; Matematik Anabilim Dalı |
Link: | |
Veröffentlichung: | Fen Bilimleri Enstitüsü, 2017 |
Medientyp: | unknown |
Schlagwort: |
|
Sonstiges: |
|