Ο νόμος του λογάριθμου για συναρτήσεις Bloch ; The law of logarithm for block function

Στην παρούσα εργασία, σκοπός μας είναι να μελετήσουμε μερικές από τις ιδιότητες μίας κλάσης μιγαδικών συναρτήσεων, των λεγόμενων συναρτήσεων Bloch, κατα- λήγοντας τελικά στο κεντρικό θεώρημα που θα μας απασχολήσει, τον «Νόμο Επαναλαμβανόμενου Λογάριθμου για συναρτήσεις Bloch», το οποίο θα μας δώσει πληροφορίες σχετικά με το ρυθμό ανάπτυξης αυτών των συναρτήσεων. Η αρχική ιδέα, προήλθε από τον Andre Bloch με την εισαγωγή μίας κλάσης συναρτήσεων οι οποίες σχηματίζουν τον λεγόμενο χώρο Bloch. Κατά την περίοδο 1925 με 1968 τα αποτελέσματα της μελέτης του Bloch, αποτέλεσαν κίνητρο για πολλούς μαθη- ματικούς και η έρευνα πήρε νέες προεκτάσεις. Από το 1969 μέχρι και σήμερα, έχει επικρατήσει μία πιο σύγχρονη προσέγγιση στη μελέτη αυτών των συναρτήσεων, την οποία θα ακολουθήσουμε κι εμείς, με χρήση μεθόδων τόσο Συναρτησιακής Ανάλυσης όσο και Θεωρίας Μέτρου. Σημαντικό ρόλο στη μελέτη μας, θα διαδρα- ματίσουν, επίσης, οι σύμμορφες απεικονίσεις από τον μοναδιαίο δίσκο D επί του D. Το κεντρικό θεώρημα της εργασίας, δηλαδή ο «Νόμος Επαναλαμβανόμενου Λογάριθμου», διατυπώθηκε και αποδείχθηκε αρχικά από τον Nikolai G. Makarov (1990) ενώ στη μορφή που θα το παρουσιάσουμε εμείς έχει αποδειχθεί από τον Christian Pommerenke. Η εργασία χωρίζεται σε δύο κύριες ενότητες. Στην πρώτη ενότητα θα ορίσου- με τις συναρτήσεις Bloch, που είναι συναρτήσεις g αναλυτικές στον μοναδιαίο δίσκο με ||g||B = sup z∈D (1 − |z|2)|g′(z)| < ∞ και θα αποδείξουμε μερικές ιδιότητές τους, κάποιες από τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε και στην απόδειξη του Νόμου Επαναλαμβανόμενου Λογάριθμου. Πιο συγκεκριμένα, θα αποδείξουμε ότι το σύνο- λο των συναρτήσεων Bloch B, εφοδιασμένο με κατάλληλη νόρμα είναι μιγαδικός χώρος Banach, ότι η συνηθισμένη Bloch-ημινόρμα ||g||B = sup z∈D (1 − |z|2)|g′(z)|, g ∈ B είναι σύμμορφα αναλλοίωτη, το γνήσιο περιέχεσθαι H∞ & B καθώς και ότι αν μία συνάρτηση f απεικονίζει το D σύμμορφα στο C τότε || log(f − a)||B ≤ 4, a /∈ f(D) και || log f′||B ≤ 6. Στη δεύτερη ενότητα, θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε το Νόμο Επαναλαμ- βανόμενου ...