Complexity Estimates for Two Uncoupling Algorithms

International audience ; Uncoupling algorithms transform a linear differential system of first order into one or several scalar differential equations. We examine two approaches to uncoupling: the cyclic-vector method (CVM) and the Danilevski-Barkatou-Zürcher algorithm (DBZ). We give tight size bounds on the scalar equations produced by CVM, and design a fast variant of CVM whose complexity is quasi-optimal with respect to the output size. We exhibit a strong structural link between CVM and DBZ enabling to show that, in the generic case, DBZ has polynomial complexity and that it produces a single equation, strongly related to the output of CVM. We prove that algorithm CVM is faster than DBZ by almost two orders of magnitude, and provide experimental results that validate the theoretical complexity analyses. ; Les algorithmes de découplage transforment un système différentiel linéaire de premier ordre en une ou plusieurs équations différentielles scalaires. Nous examinons deux approches pour le découplage : la méthode du vecteur cyclique (CVM) et l'algorithme de Danilevski-Barkatou-Zürcher (DBZ). Nous donnons des bornes fines sur la taille des équations scalaires produites par CVM, et nous concevons une variante rapide de CVM, dont la complexité est quasi-optimale par rapport à la taille de la sortie. Nous exhibons un lien structurel fort entre CVM et DBZ permettant de montrer que, dans le cas générique, DBZ a une complexité polynomiale et qu'il produit une seule équation, fortement liée à la sortie de CVM. Nous démontrons que l'algorithme CVM est plus rapide que DBZ par au moins deux ordres de grandeur, and nous fournissons des résultats expérimentaux qui valident les analyses de complexité théoriques.