Generic Morse-Smale property for the parabolic equation on the circle

Dans cet article, nous démontrons qu'il existe un ensemble générique de non-linéarités f pour lesquelles les équations de réaction-diffusion ut = uxx + f (x, u, ux), sur le cercle S1, ont la propriété de Morse-Smale. Dans Czaja et Rocha (2008) [13], Czaja et Rocha avaient montré que toute connexion entre deux orbites périodiques hyperboliques est transverse et qu'il n'existe pas d'orbite homocline à une orbite périodique hyperbolique. Dans Joly et Raugel (2010) [31], nous avons démontré qu'il existe un ensemble générique de non-linéarités f pour lesquelles tous les points d'équilibre et toutes les orbites périodiques sont hyperboliques. Dans ce travail, nous prouvons que toute connexion entre deux points d'équilibre hyperboliques d'indices de Morse distincts ou entre un point d'équilibre et une orbite périodique hyperboliques est transverse. Nous montrons également qu'il existe un ensemble générique de non-linéarités f pour lesquelles il n'existe pas de connexions entre points d'équilibre ayant même indice de Morse. Grâce à la propriété de Poincaré-Bendixson, nous déduisons des propriétés ci-dessus et de l'existence d'un attracteur global compact que, génériquement en la non-linéarité f, l'ensemble non-errant se réduit à un nombre fini de points d'équilibre et d'orbites périodiques hyperboliques. Dans nos démonstrations, les propriétés du nombre de zéros, les dichotomies exponentielles, le comportement asymptotique des solutions des équations linéarisées et évidemment le théorème de Sard-Smale jouent un rôle crucial.