ExistÃncia de atrator para um sistema de equaÃÃes de evoluÃÃo

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico

Neste trabalho, estudaremos o comportamento no infinito do seguinte problema de Cauchy iut + uxx − uv + i∞u = f(x), x 2 R, t > 0 (1) vt + _ βv + γ (|u|2)x = g(x), x 2 R, t > 0 (2) associadas Ãs condiÃÃes iniciais u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x 2 Є R. (3) A tÃcnica usada no trabalho consiste em trÃs etapas: 1. Mostrar a existÃncia, unicidade e dependÃncia contÃnua dos dados iniciais e associar (4)-(6) uma famÃlia de operadores {S(t) : t ≥ 0} satisfazendo as propriedades de semigrupo da seguinte forma: Para todo t ≥ 0 S(t) H → H u0 →! S(t)u0 := u(t) Є H, onde ξ 0 = (u0, v0) Ã o dado inicial e (u(t), v(t)) Є H Ã a soluÃÃo de (4)-(6)1 2. ExistÃncia de um conjunto limitado absorvente em h via estimativas a priori, isto Ã, um conjunto limitado B(esta contido) H que atrai as Ãrbitas(2) numa razÃo exponencial. ___ 1No nosso caso iremos tomar H = H1(R) Ã L2(R). 2Definimos a Ãrbita ou trajetÃrias passando por ξ 0 como sendo γ (ξ 0) = U [t≥0S(t) ξ 0 = {(u(t), v(t)) : t≥ 0}. 3. Por fim, existÃncia de um atrator global A(para todo) H para o sistema (4)- (6), isto Âe, A Ã um conjunto compacto de H, invariante por S(t) (ou seja S(t)A = A, para todo t ≥0) e atrai todas as Ãrbitas do sistema quando t → ∞ Para obtermos Ãxito, organizamos o trabalho como segue: No capÃtulo 2, obtemos estimativas a priori e conjuntos limitados absorventes. No capÃtulo 3, mostramos a existÃncia, unicidade e dependÃncia contÃnua dos dados iniciais. No capÃtulo 4, decompomos o semigrupo da soluÃÃo em duas partes, uma uniformemente limitado em H2(R) Ã H1(R) e outra decaindo exponencialmente em H1(R) Ã L2(R). No capÃtulo 5, mostramos a compacidade assintotica do operador soluÃÃo e finalmente no capÃtulo 6, provamos o resultado principal: Teorema 0.1 Assuma que f Є L2(R), g Є H1(R). EntÃo o operador soluÃÃo S(t) de (4)-(5) Âe um sistema dinÃmico contÃnuo em X1 = H1Ã L2(R) e possui um atrator global A satisfazendo (a) A Âe compacto em X1 = H1 Ã L2(R), (b) S(t)A = A, 8 t ≥ 0, (c) para todo B(esta contido) X1 limitado, Lim distx1 (S(t) B, A) = 0