Formalizing and Implementing a Reflexive Tactic for Automated Deduction in Coq

Dans cette thèse, nous proposons une amélioration de l'automatisation des preuves dans l'assistant de preuve Coq. Cette automatisation est obtenue en intégrant à Coq les procédures de décision pour la logique propositionnelle, l'égalité et l'arithmétique linéaire constituant le noyau du solveur SMT Alt-Ergo. Cette intégration est réalisée en utilisant la technique de preuve par réflexion, qui consiste à développer en Coq ces algorithmes et à prouver formellement leur correction de manière à les exécuter directement dans l'assistant de preuve. Comme les algorithmes formalisés en Coq sont exactement ceux utilisés dans le noyau d'Alt-Ergo, notre travail permet également d'augmenter considérablement la confiance que l'on peut avoir dans ce dernier. En particulier, il utilise un algorithme original de combinaison de l'égalité modulo une théorie, inspiré de la combinaison de Shostak et appelé CC(X), et dont la justification est relativement complexe.Notre développement Coq est utilisable sous la forme de tactiques qui permettent de valider automatiquement des formules combinant logique propositionnelle, égalité et arithmétique. Afin que ces tactiques soient le plus efficaces possibles, nous avons attaché une grande importance aux performances de notre implantation Coq, et en particulier à l'utilisation de structures de données efficaces courantes, dont nous proposons ici une bibliothèque.

In this thesis, we propose new automation capabilities for the Coq proof assistant. We obtain this mechanization via an integration into Coq of decision procedures for propositional logic, equality reasoning and linear arithmetic which make up the core of the Alt-Ergo SMT solver. This integration is achieved through the reflection technique, which consists in implementing and formally proving these algorithms in Coq in order to execute them directly in the proof assistant. Because the algorithms formalized in Coq are exactly those in use in Alt-Ergo's kernel, this work significantly increases our trust in the solver. In particular, it embeds an original algorithm for combining equality modulo theory reasoning, called CC(X) and inspired by the Shostak combination algorithm, and whose justification is quite complex. Our Coq implementation is available in the form of tactics which allow one to automatically solve formulae combining propositional logic, equality and arithmetic. In order to make these tactics as efficient as may be, we have taken special care with performance in our implementation, in particular through the use of classical efficient data structures, which we provide as a separate library.