Métodos multiescala y aplicaciones: Esquemas de subdivisión

Los esquemas de subdivisión se basan en un proceso de refinamiento recursivo de un conjunto de datos iniciales. Dado un conjunto de datos iniciales, los nuevos datos se generan siguiendo un conjunto de reglas establecidas, produciendo un conjunto más denso de puntos. El estudio de la conservación de algunas propiedades especificas que se presentan en el conjunto de datos iniciales es crucial para algunas aplicaciones, por ejemplo las propiedades de convergencia y suavidad son necesarias para que el esquema de subdivisión se pueda utilizar para la compresión o reconstrucción de imágenes, el diseño de curvas y superficies, aproximación de funciones arbitrarias, etc. Algunos esquemas de subdivisión clásicos, independiente de los datos, pueden ser descritos como operadores lineales entre espacios de sucesiones acotadas. Existe una gran bibliografía del estudio de la convergencia de esquemas de subdivisión lineales (ver por ejemplo [CDM91,DYN92] y las referencias que se encuentran en estos artículos). Los esquemas de subdivisión lineales presentan un problema, reconstruyen las 'discontinuidades' de datos discretos creando falsas oscilaciones. Esta deficiencia motiva la búsqueda de esquemas no lineales con propiedades especificas. Durante los últimos años, se han propuesto varios esquemas no lineales, ver por ejemplo [ADLT06], para intentar eliminar las oscilaciones tipo Gibb que ocurren cerca de las discontinuidades cuando se utilizan técnicas lineales para refinar datos discretos. El esquema PPH propuesto en [ADLT06] utiliza una media no lineal que aproxima al mayor orden de la media lineal en las regiones monótonas y suaves mientras que se mantiene cerca del mínimo de la media de dos valores cuando la región no es suave y monótona. Esta propiedad es crucial para eliminar el fenómeno Gibbs que producen los esquemas de subdivisión lineales alrededor de las discontinuidades. Los esquemas PPH utilizan una media no lineal que forma parte de la familia de medias Power, definidas en [MS04], que sirven para definir los esquemas de subdivisión Power_p, [ADLT06,DADOURIAN]. Uno de los objetivos fundamentales de este trabajo es intentar extender las ideas subyacentes a los esquemas Power_p para construir esquemas no oscilatorios y no lineales, relacionados con el esquema de Lagrange centrado de $6-$puntos. Para ello, utilizaremos la media ponderada WP_{p,a,b} [ADS12] que es una generalización de la media armónica Power_p. En [ADS12] se llevó a cabo el estudio de la convergencia y la estabilidad de los esquemas WP_{p,a,b} (una generalización de los esquemas Power_p) comprobando las hipótesis de los teoremas presentados en [DADOURIAN]. Se puso de manifiesto la conveniencia de contar con técnicas avanzadas que permitiesen llevar a cabo el estudio de la convergencia y la estabilidad de esquemas basados en funciones Liptchitz y suaves por sectores. Siguiendo el marco teórico propuesto por Oswald y Harizanov [HARIZANOV, HO10], en este trabajo presentamos unos teoremas que sirven para analizar las propiedades de convergencia y estabilidad de esquemas basados en funciones Liptchitz y suaves por sectores, ya que resulta particularmente adecuado para analizar los esquemas de subdivisión objeto de esta memoria, por lo que daremos una descripción detallada de los elementos esenciales de esta teoría. A diferencia de la exposición en [HARIZANOV, HO10], no se pretende abordar el caso más general posible. El énfasis está puesto en la claridad y completitud de la exposición. En esta memoria analizaremos los esquemas Pchip, que se construyen utilizando de un polinomio interpolador de tercer grado que preserva la monotonía de los datos. Este polinomio se utiliza también en la función PCHIP de Matlab [A13], y esto justifica el nombre del esquema. Veremos que, al igual que los esquemas Power, este esquema pueden ser escrito como una perturbación no lineal de un esquema de subdivisión simple. Además presentaremos un esquema de subdivisión no lineal de 6 puntos convergente y que tiene orden de aproximación igual a seis para ciertas funciones. BIBLIOGRAFÍA [A13] F. Aràndiga,"On the Order of Nonuniform Monotone Cubic Hermite Interpolants", SIAM J. Numer. Anal,2013,51(5), pages 2613-2633. [ADS12] F. Aràndiga, R. Donat and M. Santágueda, "Weighted-Power$_p$ nonlinear subdivision schemes.", J.-D. Boissonnat et al. (Eds.): Curves and Surfaces 2011, LNCS 6920, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012. [ADLT06] S. Amat, R. Donat,J. Liandrat and J.C. Trillo, "Analysis of a new nonlinear subdivision scheme. Applications in image processing", Applications in Image Processing. Found. Comput. Math, 2006 pages 193-225. [CDM91] A. S. Cavaretta, W. Dahmen and C.A. Michelli “Stationary subdivision”, Mem. Amer. Math. Soc. 93(453), 1991, pages 346-349. [DYN92] N. Dyn, "Subdivision schemes in computer-aided geometric design", Advances in numerical analysis, Vol. II (Lancaster, 1990), Oxford Sci. Publ., Oxford Univ. Press, New York, 1992, 36-104. [DADOURIAN]. K. Dadourian "Schémas de Subdivision, Analyses Multirésolutions non-linéaires. Applications.", Phd Tesis Université de Provence, 2008. [HARIZANOV] S. Harizanov,"Analysis of nonlinear subdivision and multi-scale transforms", Phd Tesis, Jacobs University, 2011. [HO10], S. Harizanov and P.Oswald, "Stability of nonlinear subdivision and multiscale transforms", Constr. Approx., 31, 2010, pages 359-393